Lernziele | - Sie können Durchschnitt, Vereinigung, Komplement
und Mengendifferenz von endlichen Mengen und von Intervallen bilden
und korrekt bezeichnen.
- Sie können Mengenterme mit bis zu drei Variablen mit Hilfe
von Mengendiagrammen vereinfachen.
- Sie kennen die Fundamentalgesetze und die Regeln von De
Morgan für Mengenoperationen.
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| Genau wie man mit den arithmetischen Operationen Zahlen
zu einer neuen Zahl verknüpfen kann, kann man auch Operationen auf
Mengen anwenden, wobei dann das Resultat auch wieder eine Menge
ist. Die hervorgehobenen Flächen stellen jeweils eine neue Menge
dar: |
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| Der guten Ordnung halber halten wir das aber noch in
Worten fest: |
Definition 16 | Mengenoperationen |
| und seien Mengen; dann sind folgende Operationen definiert:- Die Vereinigung (sprich «A vereinigt mit B»)ist die Menge aller Objekte, welche Elemente von oder von oder von beiden sind.
- Der Durchschnitt (sprich «A geschnitten mit B»)ist die Menge aller Objekte, welche Elemente sowohl
von wie auch von sind.
- Das Komplement (sprich «A quer»)ist die Menge aller Objekte, welche nicht Elemente von (aber natürlich der Grundmenge) sind.
- Die Mengendifferenz (sprich «A ohne B»)ist die Menge aller Objekte, welche Elemente von aber nicht von sind.
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Beispiel 12 | Mengenoperationen |
| a) | Die Grundmenge sei . Gegeben seien die Mengen und Dann ist | b) | Gegeben sind die Intervalle und . Dann gilt |
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| Genau wie für die Rechenoperationen mit Zahlen gibt
es auch für die Operationen mit Mengen gewisse Gesetzmässigkeiten.
Auf Grund der Definition recht einleuchtend sind folgende Grundgesetze: |
Satz 2 | Fundamentalgesetze
der Mengenoperationen |
| , und seien beliebige Mengen und sei die Grundmenge. Dann gelten folgende Regeln:- und
- und
- und
- und
- und
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| Die obigen Fundamentalgesetze – und die aus ihnen daher
auch die aus ihnen abgeleiteten Regeln – haben eine bemerkenswerte
Symmetrie: Wenn man in irgend einer der Regeln durch und umgekehrt, sowie durch und umgekehrt ersetzt, so resultiert die jeweils andere
Regel derselben Zeile. |
| Zwei weitere Gesetze sind besonders wichtig, stellen
sie doch einen Zusammenhang zwischen drei grundlegenden Mengenoperationen
her: |
Satz 3 | De Morgansche Gesetze |
| Für alle Mengen und gilt: und |
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| Theoretisch kann man diese Gesetze aus den Fundamentalgesetzen
herleiten. Wir verzichten darauf und illustrieren statt dessen das
erste Gesetz mit Hilfe von Mengendiagrammen: |
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| Die schraffierte Fläche im Diagramm oben rechts ist
einerseits das Komplement der Menge oben links und andererseits
der Durchschnitt der beiden unteren Mengen. |
| Mit drei Mengen sieht ein Mengendiagramm im allgemeinsten
Fall so aus: |
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Beispiel 13 | Mengendiagramm |
| Wir schraffieren vorerst die Mengen und und bilden dann deren Durchschnitt .Nun können wir die schraffierte Menge auch als Vereinigung
von und (siehe untenstehendes Bild) interpretierenEs gilt also folgender Zusammenhang: |
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| Das ist die erste der beiden Regeln 2c aus den Fundamentalgesetzen. |